二元一次方程

二元一次方程篇1

　　1 二次函数与一元二次方程的建构的关系及其应用

　　1.1 二次函数与一元二次方程的建构的关系

　　通过构建一元二次方程解决抛物线y=ax2+bx+c相关问题，是解决二次函数的问题的常用方法之一。如构建一元二次方程ax2+bx+c=0解决抛物线y=ax2+bx+c与 x 轴交点问题；构建一元二次方程解决抛物线y=ax2+bx+c与其它函数的交点问题；构建一元二次方程解决其它与二次函数相关的的问题等等。

　　1.2 一元二次方程的建构在二次函数中的应用

　　通常解答二次函数的问题时，一元二次方程的构建及其求解是解决二次函数的问题不可缺少的工具。

　　例1 如图，抛物线y=x2+bx-2交x轴的正半轴于A点，交x轴的负半轴于B点，交y轴的负半轴于C点，O为坐标原点，这条抛物线的对称轴为x=。(1) 求A、B两点坐标，(2) 求证ACO∽CBO

　　略解：(1)由x=，可求b=故由一元二次方程x2+x-2=0易求B(-4，0)，A(1，0)

　　(2)略。

　　2 二次函数与一元二次方程根的判别式的关系及其应用

　　2.1 二次函数与一元二次方程根的判别式的关系

　　由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式可知，① 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；② Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③ 当Δ0 时，抛物线与 x 轴有两个交点；② 当Δ=0时，抛物线与x轴只有一个交点；③ 当Δ

　　2.2 一元二次方程根的判别式在二次函数中的应用

　　2.2.1 利用一元二次方程根的判别式解决二次函数与x轴的相交问题

　　例2 已知抛物线y=x2-(m2+4)x-2m2-12，求证：不论m为何值时，抛物线与x轴一定有两个交点，且其中一交点为(-2、0)

　　略证：=m4+16m2+64=(m2+8)2>0

　　抛物线与x轴一定有两个交点

　　又由求根公式可求x2-(m2+4)x-2m2-12=0的两根分别为x1=m2+6，x2=-2

　　因而抛物线与x轴两个交点中的其中一交点为(-2、0)

　　例4 已知直线y=(m+1)x-2与抛物线y=-(m+1)x2+(m-5)x+6有两交点

　　求m的取值范围

　　略解：由抛物线y=-(m+1)x2+(m-5)x+6可知，m≠-1

　　由直线y=(m+1)x-2与抛物线y=-(m+1)x2+(m-5)x+6有两交点，易列关于x的一元二次方程(m+1)x2+6x-8=0中，>0即36+32(m+1)>0，

　　m>-178

　　m>-178且m≠-1

　　2.2.2 利用根的判别式求二次函数的解析式

　　例3 已知：p、q为正整数，m≠n，关于x的一元二次方程-x2+2(p+1)x-(p2+4p-3)=0有两个不相等的实数根，抛物线y=(m2+n2-3)x2-6px+2mn+q与y轴的交点到原点的距离为2，且m2-2m-1=0，n2-2n-1=0，求抛物线的解析式

　　解：-x2+2(p+1)x-(p2+4p-3)=0有两个不相等的实数根

　　>0

　　p

　　p=1

　　m2-2m-1=0，n2-2n-1=0

　　m、n是x2-2x-1=0的两根

　　mn=-1，m2+n2=6

　　抛物线y=(m2+n2-3)x2-6px+2mn+q与y轴的交点到原点的距离为2， q为正整数

　　q=4

　　易求抛物线为：y=3x2-6x+2

　　3 二次函数与一元二次方程根与系数关系的关系及其应用

　　3.1 二次函数与一元二次方程根与系数关系的关系

　　3.1.1 由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根(设其两根为x1、x2)与系数关系可知： x1+x2=-ca，x1x2=ca由这两个公式可进一步探讨x1、x2的大小：当x1、x2都是正数，则0、-ba0、ca0；当x1、x2两根异号，则0、ca0；当x1、x2有一数为零，则0、ca=0；当x1、x2都是负数，则0、-ba0、ca0；…。进一步可知y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的一些情况。即① x1+x2=-ba>0且x1x2=ca>0，则y=ax2+bx+c(a≠0)交点都在x轴正半轴；② x1+x2=-ba0且x1x2=ca>0，则y=ax2+bx+c(a≠0)交点都在x轴负半轴；③ x1x2=ca0且x1x2=ca=0，则y=ax2+bx+c(a≠0)交点在原点及x轴正半轴；⑤ x1+x2=-ba

　　3.1.2 如果方程x2+bax+ca=0的两根是x1、x2，那么x1+x2=-ba，x1x2=ca， 易知两根为x1、x2的一元二次方程x2+bax+ca=0可化为x2-(x1+x2)x+ x1x2=0或者化为(x-x1)(x-x2)=0，也就是说一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可化为a〔x2-(x1+x2)x+ x1x2〕=0或者化为a(x-x1)(x-x2)=0.根据这一点，当抛物线经过x轴上两点(如果存在)A(x1、0)、B(x2、0)时，就不必分别将此两点代入一般式，再与第三个条件联立方程组去求a、b、c，只须令其解析式为：y= a(x-x1)(x-x2)，再将第三个条件代入去求a。这样求解二次函数的解析式就显得简洁方便。

　　3.2 一元二次方程根与系数关系的应用

　　3.2.1 求二次函数的解析式

　　例4 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点(6，0)、(-2，0)，顶点的纵坐标为，求这个二次函数的解析式。

　　略解：令该二次函数的解析式为：y= a(x-6)(x+2)，由顶点的纵坐标为，易求a=-，所以可求出该二次函数的解析式。

　　3.2.2 利用一元二次方程根与系数关系解决二次函数图像与x轴的两交点位置关系相关的问题

　　例5 函数y=ax2+bx+c，若a>0，b

　　A。 没有交点；

　　B。 有两个且都在x轴的正半轴；

　　C。 有两个且都在x轴的负半轴；

　　D。 有两个，一个在x轴的正半轴另一个在x轴的负半轴；

　　分析：(1)=b2-4ac>0可知该函数与x轴有两个交点；(2)由根与系数关系x1+x2=-ba>0，x1x2=ca

二元一次方程篇2

　　1、会用代入法解二元一次方程组

　　2、会阐述用代入法解二元一次方程组的基本思路——通过“代入”达到“消元”的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。

　　此外，在用代入法解二元一次方程组的知识发生过程中，让学生从中体会“化未知为已知”的重要的数学思想方法。

　　引导性材料：

　　本节课，我们以上节课讨论的求甲、乙骑自行车速度的问题为例，探求二元一次方程组的解法。前面我们根据问题“甲、乙骑自行车从相距60千米的两地相向而行，经过两小时相遇。已知乙的速度是甲的速度的2倍，求甲、乙两人的速度。”设甲的速度为X千米／小时，由题意可得一元一次方程2（X＋2X）＝60；设甲的速度为X千米／小时，乙的速度为Y千米／小时，由题意可得二元一次方程组 2（X＋Y）=60

　　Y=2X

　　观察

　　2（X＋2X）＝60与　2（X＋Y）=60 ①

　　②　有没有内在联系？有什么内在联系？

　　（通过较短时间的观察，学生通常都能说出上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系——把方程①中的“Y”用“2X”去替换就可得到一元一次方程。）

　　知识产生和发展过程的教学设计

　　问题1：从上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系的研究中，我们可以得到什么启发？把方程①中的“Y”用“2X”去替换，就是把方程②代入方程①，于是我们就把一个新问题（解二元一次方程组）转化为熟悉的问题（解一元一次方程）。

　　解方程组　2（X＋Y）=60 ①

　　②

　　解：把②代入①得：

　　2（X＋2X）＝60，

　　6X＝60，

　　X＝10

　　把X＝10代入②，得

　　Y＝20

　　因此：　X＝10

　　问题2：你认为解方程组　2（X＋Y）=60 ①

　　②　的关键是什么？那么解方程组

　　X＝2Y＋1

　　2X—3Y＝4　的关键是什么？求出这个方程组的解。

　　上面两个二元一次方程组求解的基本思路是：通过“代入”，达到消去一个未知数（即消元）的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫“代入消元法”，简称“代入法”。

　　问题3：对于方程组　2X＋5Y＝－21　①

　　X＋3Y＝8

　　②　能否像上述两个二元一次方程组一样，把方程组中的一个方程直接代入另一个方程从而消去一个未知数呢？

　　（说明：从学生熟悉的列一元一次方程求解两个未知数的问题入手来研究二元一次方程组的解法，有利于学生建立新旧知识的联系和培养良好的学习习惯，使学生逐步学会把一个还不会解决的问题转化为一个已经会解决的问题的思想方法，对后续的解三无一次方程组、一元二次方程、分式方程等，学生就有了求解的策略。）

　　例题解析

　　例：用代入法将下列解二元一次方程组转化为解一元一次方程：

　　（1）X＝1－Y

　　①

　　3X＋2Y＝5

　　将①代入②（消去X）得：

　　3（1－Y）＋2Y＝5

　　（2）5X＋2Y－25.2＝0　①

　　3X－5＝Y

　　将②代入①（消去Y）得：

　　5X＋2（3X－5）－25.2＝0

　　（3）2X＋Y＝5

　　3X＋4Y＝2　②

　　由①得Y＝5－2X，将Y＝5－2X代入②消去Y得：

　　3X＋4（5－2X）＝2

　　（4）2S－T＝3

　　3S＋2T＝8

　　由①得T＝2S－3，将T＝2S－3代入②消去T得：

　　3S＋2（2S－3）＝8

　　课内练习：

　　解下列方程组。

　　（1）2X＋5Y＝－21

　　（2）3X－Y＝2

　　3X＝11－2Y

　　小结：

　　1、用代入法解二元一次方程组的关键是“消元”，把新问题（解二元一次方程组）转化为旧知识（解一元一次方程）来解决。

　　2、用代入法解二元一次方程组，常常选用系数较简单的方程变形，这用利于正确、简捷的消元。

　　3、用代入法解二元一次方程组，实质是数学中常用的重要的“换元”，比如在求解例（1）中，把①代入②，就是把方程②中的元“X”用“1－Y”去替换，使方程②中只含有一个未知数Y。

二元一次方程篇3

　　【案例描述】

　　一、教学目标

　　1. 知识与技能：理解加减消元法的思路，会用加减法解二元一次方程组。 进一步了解解二元一次方程组时的消元和化归思想

　　2. 过程与方法：通过探索加减消元法解二元一次方程组的过程，体会解二元一次方程组的解法本质，感悟“化归”思想，学会从已知中探索解决新问题的方法。

　　3. 情感、态度、价值观：通过探索加减消元法的活动，培养学生观察的能力、合作的意识、创新的精神。

　　二、教学重点

　　用加减法解二元一次方程组。

　　三、教学难点

　　对解二元一次方程组的基本思路――消元法的理解，和“化归”思想的渗透。

　　四、教学过程

　　1. 创设情境，复习导入

　　教师问：“上节课我们学习了什么内容？”

　　学生一起答：“学习了用代入法解二元一次方程组。”

　　请一名同学上黑板解二元一次方程组x + y = 4，x - y = 2，其他同学在练习本上写。

　　学生：x + y = 4， （1）x - y = 2， （2）

　　解 由（1）可得：

　　x = 4 - y。 （3）

　　把（3）代入（2），得

　　4 - y - y = 2，

　　-2y = -2，

　　y = 1.

　　把y = 1代入（3），得

　　x = 3.

　　所以原方程组的解为x = 3，y = 1.

　　请一名学生检验。

　　教师问：用代入法解二元一次方程组关键是什么？

　　学生答：先写成用x的代数式表示y 或者写成用y的代数式表示x，消掉一个未知数。

　　教师：同学们说得很对，用代入法解二元一次方程组的关键是：把二元转化成一元，这个例题把（3）代入（2）的过程就是消掉未知数x，把二元转化成一元。

　　2. 探索新知，讲授新课

　　例1 解方程组x + y = 4，x - y = 2.

　　教师：同学们想一想除了用这种方法消掉一个未知数，还有其他方法也可以消掉一个未知数吗？

　　同学们认真地思考着，不时还交谈着。

　　教师提示：方程组中相同未知数的系数有什么特殊的地方？

　　学生：x的系数相同，y的系数互为相反数。

　　教师：能不能消掉一个未知数呢？

　　甲学生：把两式相加就能消掉一个未知数。

　　教师：为什么？

　　甲同学：y的系数一个是正1，一个是负1，两个式子相加，就把y消掉了。

　　教师：甲同学说得很对，他观察到未知数y的系数互为相反数，所以只要（1）式加上（2）就得到什么？

　　学生一起：2x = 6.

　　教师：这样我们就把二元转化为一元，我们就能解出这个二元一次方程组，还有其他方法吗？

　　乙学生：把两式相减也能消掉一个未知数x。

　　乙学生：x的系数相同，用（1）减（2）得2y = 2.

　　教师：乙同学说得很对，这就是我们今天要学习的内容，用加减法解二元一次方程组。 下面请两名同学分别用甲、乙两名同学的方法把板书过程写在黑板上。 教师强调每一步的过程，尤其是初学者把（1） + （2）得（x + y） + （x - y） = 4 + 2或（1） - （2）得（x + y） - （x - y） = 4 - 2这一步写出来。

　　练习：x + 2y = 1，3y - 2y = 5. x + 2y = 1，x + y = 5. 3x + 9y = 18，3x - 2y = 5.

　　2x + 6y = 18，9y - 6y = 15.

　　让学生总结在解二元一次方程组时在同一个未知数的系数相同时用减法消掉一个未知数，在同一个未知数的系数互为相反数时用加法消掉一个未知数。

　　例2 解方程组x + 3y = 9，3x - 2y = 5.

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　　这节课把书上的例题x + 2y = 1，3x - 2y = 5改为x + y = 4，x - y = 2后比用书上的例题效果要好，四班用的书上的例题，而六班是用的改过的例题，在六班上课学生积极回答问题，做练习也比较快，在课后的测试中六班也比四班做得好。

　　【案例反思】

　　1. 过程组织得好。

　　2. 易错点强调得较好。

　　3. 例题改编得好。

二元一次方程篇4

　　一、一元二次函数与一元二次方程

　　一元二次函数是初中数学的重要内容 ，是初中、高中数学知识的衔接点，是中考中数学的重点考察内容之一，要全面掌握一元二次函数的基础知识和基本性质，并能分析和解决有关一元二次函数的综合问题，合理利用一元二次函数与一元二次方程的联系是十分必要的。

　　首先，从其形式上来看：

　　一元二次函数y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）与一元二次方程0 = ax2 + bx + c（a ≠ 0）（其中a，b，c为常数）：

　　① 它们都是关于x的二次式，从上面我们可以看出，y = 0时，便是一个一元二次方程。 所以，我们可以认为一元二次方程是一元二次函数的特殊形式，这是用函数的观点看一元二次方程。

　　② 条件上，都是在保证a ≠ 0的情况下，去认识一元二次函数和一元二次方程。 如果a = 0时，再谈便无意义。

　　③ 从其表达式上可知道，无论是一元二次函数y的值，还是一元二次方程的解x应该都与系数a，b，c有关。

　　其次，我们还可以从其内涵上来看：

　　① 一元二次方程是求ax2 + bx + c = 0时x的某确定值，即方程的根。 实质是用a，b，c来表示，如将x反代入表达式，则ax2 + bx + c值为0.

　　② 一元二次函数y = ax2 + bx + c是研究变量y随自变量x的变化情况，反应的是y的变化规律。 当x变化时，y也随着x以ax2 + bx + c变化。 而当y = 0时，求出方程x2 + bx + c = 0的两根x1，x2 。 而此时的x1，x2正是一元二次函数y = ax2 + bx + c与x轴的交点。

　　最后，我们知道，无论是一元二次函数还是一元二次方程，其交点或根都与系数a，b，c有关。 有交点就说明方程ax2 + bx + c = 0有根。 那么，是不是所有的一元二次方程ax2 + bx + c = 0都有根或者说所有的一元二次函数y = ax2 + bx + c都与x轴有交点呢？又是不是只要一元二次方程ax2 + bx + c = 0有根，一元二次函数y = ax2 + bx + c就与x轴有交点呢？

　　通过学习我们知道，并不是所有的一元二次方程都有实数根，也不是全部一元二次函数都与实数轴x轴有交点。 既然这样，那怎样的一元二次方程才有实数根，又是什么样的一元二次函数才与实数轴有交点呢？上面已经说过，无论是方程的根，还是函数与x轴的交点坐标都应该和其系数a、b、c有关。 所以，现在我们应该考虑，能否通过它们的系数关系来判断一元二次方程有根或一元二次函数有交点的问题。 有根，有几个根；有交点，又有几个交点；满足有根或有交点时，系数之间是否呈现一定的关系和规律呢？

　　综上，我们可以看到，无论a∈（-∞，+∞），且a ≠ 0时，①当b2 - 4ac > 0时，一元二次函数与x轴有两个不同的交点，且相应方程有两个不同的实数根；②当b2 - 4ac = 0时，一元二次函数与x轴仅有一个交点和对应方程有一对相等的根（即x1 = x2）；③当b2 - 4ac 0？圳方程有两个不相等的实根，

　　b2-4ac=0？圳方程有两个相等的实根，

　　b2-4ac

　　b2-4ac≥0？圳方程有两个实根。

　　例1 关于x的一元二次方程（m-1）x2+

　　2mx+m+2=0有两个不等的实数根，求m的取值范围。

　　【解析】根据已知条件应满足b2-4ac>0，m-1≠0.即（2m）2-4（m-1）（m+2）>0，m-1≠0.

　　解得-4m+8>0，m≠1. m

　　变式一 关于x的方程（m-1）x2+2mx+m+2=0有两个实数根，求m的取值范围。

　　【解析】有两个实数根，就说明此方程是一元二次方程，则有

　　（2m）2-4（m-1）（m+2）≥0，m-1≠0.

　　即-4m+8≥0，m≠1. m≤2且m≠1.

　　变式二 关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，求a的取值范围。

　　【分析】题目只讲有实数根，有可能有一个实数根，此时方程为一元一次方程；也有可能有两个实数根，此时方程为一元二次方程。 因此，本题应分两种情况解答。

　　解：关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，

　　①若此方程为一元一次方程，则a-5=0，a=5；

　　②若此方程为一元二次方程，则（-4）2-4×（a-5）×（-1）≥0，a-5≠0.

　　解得a≥1，且a≠5.

　　综上所述，a的取值范围为a≥1.

　　例2 已知关于x的方程x2-2（k+1）x+4k=0.

　　（1） 求证：无论k取何值时方程总有实数根；

　　（2） 若等腰ABC的一边长a=4，另两边b、c的长恰好是方程x2-2（k+1）x+4k=0的两个根。 求ABC的周长。

　　【分析】（1） 要证明无论k取何值时方程总有实数根，只要证明b2-4ac≥0即可。

　　（2） 因为ABC是等腰三角形，有可能a=b=4，即方程x2-2（k+1）x+4k=0有一根为4，将x=4代入方程求出k的值，再通过解方程，求出方程的两个根；有可能b=c，说明此方程有两个相等的实根，即b2-4ac=0，这样可求出k的值，再通过解方程，求出方程的根。需要注意的是两种情况都要考虑两边之和是否大于第三边。

　　解：（1） b2-4ac=4（k+1）2-4·4k=4k2-8k+4=4（k-1）2≥0，

　　无论k取何值时方程总有实数根。

　　（2） ABC是等腰三角形，a=4，分两种情况讨论：

　　①若a=b=4，则16-8（k+1）+4k=0，解得k=2，x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2.

　　a=b=4，c=2，此时b+c>a，ABC的周长=4+4+2=10；

二元一次方程篇5

　　【关键词】一元二次方程 特殊解法

　　中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j。issn。1672-0407.2014.01.098

　　一、根的和、差、积法

　　这个方法一般用在一次项系数和常数项较大而二次项系数为1的方程上。

　　例1：解方程x2+14x-207=0

　　设：方程的两个根x1>x2，且x1-x2=k（k>0）

　　根据根与系数的关系可知x1+x2=-14，x1x2=-207

　　那么（-14）+k=2x，-14-k=2x2

　　（-14+k）（-14-k）=4x1x2=4x（-207）

　　（-14+k）（-14-k）=4x1x2=4×（-207）

　　即142-k2=4×（-207），k2=142-4×（-207）=4（72+207）=4×256

　　k=2×16=32

　　因此，2x1=-14+32，x1=9，2x2=-14-32，x2=23.

　　例2：解方程x2-3x-16=0

　　解：设x1-x2=k 那么x1+x2=3

　　那么 k+3=2x1 k-3=2x2

　　（k+3）（k-3）=-4x1x2=4（-16）

　　k2-9=4×16 k2=64+9=73 k=■

　　因此 2x1=3=■，x1=■，2x2=3-■，x2=■

　　用上述两例的解题方法可以推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式。

　　设x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根。

　　由根与系数的关系定理知道

　　x1+x2=-b/a ① x1x2=c/a ②

　　若x1-x2=k（k>0） ③

　　①-③得2x2=-b/a+k ④

　　④×⑤得（-b/a+k）（-b/a-k）=4x1x2 ⑥

　　②代入⑥得（-b/a+k） （-b/a-k）=4c/a

　　即（■）■-k2=4■ k2=■-4■=■

　　a=■将它代入④和⑤得

　　2x■=■，2x■=-■-■

　　所以x1=■，x2=■

　　二、新配方法

　　新配方法可避免复杂的分数运算，对于二次项系数不为1的一元二次方程用此方法最好。

　　例1：解方程49x■+28x-12=0

　　分析：本方程的特点是二次项系数49是7的完全平方数，并且一次项系数28有因数7，方程可变形为：

　　（7x）2+4×（7x）-12=0

　　解：对方程（7x）2+4×（7x）-12=0进行配方

　　（7x）2+4×（7x）+4=12+4

　　（7x+2）2=16， （7x+2）2-16=0

　　分解因式得（7x+2+4）（7x+2-4）=0

　　即（7x+6）（7x-2）=0 x1=-■，x■=■

　　例2：解方程 12x2-16x-11=0

　　分析：方程的二次项系数12不是完全方数，若方程两边都乘以3，则方程变为：

　　36x2-48x-33=0，再按例1的方法变形为（6x2）-8×（16x）-33=0

　　配方求解：（6x）2-8×（6x）+16=33+16

　　即（6x-4）2=49，（6x-4）2-49=0

　　分解因式（6x-4-7）（6x-4+7）=0

　　即（6x-11）（6x+3）=0 x■=■，x■=-3

　　例3：17x2-38x+5=0

　　分析：方程的二次项系数17是质数，方程两边只能乘以它本身才能使二次项系数成为完全平方数，就是：17×17x2-38×17x+5×17=0再写

　　（17x）2-38×（17x）+5×17=0

　　配方求解：（17x）2-38×（17x）+192=192-5×17

　　即（17x-19）2=361-85=4×69

　　（17x-19）2-4×69=0

　　分解因式得（17x-19+2■）（17x-19-2■）=0

　　x1=■，x2=■

　　新配方法解一元二次方程同样可以推导它的求根公式

　　方程ax2+bx+c=0（a≠0）的二次项系数a不是一个完全平方的形式。如果两边都以a，则方程变为a2x2+abx+ac=0，这时二次项系数虽然成为完全平方的形式，但一次项系数ab没有2年因数，所以配方时分式的出现仍不可避免，为了即使二次项系数为完全平方数，又要使一次项系数有因数2，我们给原方程两边都乘以4a，则方程成为：

　　4a2x2+4abx+4ac=0

　　移常数项，配新常数项，得：

　　4a2x2+4abx+b2=b2-4ac

　　即（2ax+b）2=b2-4ac，或（2ax+b）2-（b2-4ac）=0

　　分解因式（2ax+b+■）（2ax+b-■）=0

　　由2ax+b+■=0得x=■

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