数列的极限范例

数列的极限范例篇1

　　关键词：平均值；极限；聚点

　　关于数列平均值的极限有下面著名的结论：

　　定理1 数列{an}极限存在为a，则由前n项的平均值构成的数列a1+a2+…+ann极限也存在且等于a。

　　下面我们考虑该定理的逆命题及否命题是否成立。首先我们考虑否命题，也即“如果数列{an}极限不存在，那么数列a1+a2+…+ann极限存在”是否成立呢？我们给出下面的例子。

　　例1 令an=n，则有limn∞an=+∞，a1+a2+…+ann=n（n+1）2n=n+12，那么我们有limn∞a1+a2+…+ann=+∞。

　　可见当{an}极限不存在时平均值a1+a2+…+ann的极限可能不存在，也即定理的否命题不成立。如果将无穷（+∞、-∞或∞）看成是广义极限（或非正常极限）的话，那么上面的例2并不能说明问题，我们再给出下面的例子。

　　例2 令an=3k-2，n=3k-2，0，n=3k-1，-3k+2，n=3k，

　　也即{an}=1，0，-1，4，0，-4，7，0，-7，…，可以看出{an}极限不存在。n=3k-2时，a1+a2+…+ann=1+0+（-1）+…+（3k-2）3k-2=1；

　　n=3k时，

　　a1+a2+…+ann=1+0+（-1）+…+（3k-2）+0+（-3k+2）3k=0，

　　可知数列a1+a2+…+ann有两个子列收敛到不同的极限，从而a1+a2+…+ann极限不存在。

　　上面的两个例子中数列{an}都是无界数列，an的变化很大，导致了平均值的极限不存在，那么我们就会有这样一个想法，对有界数列{an}而言，an总在上下界之间变化，改变幅度有限，这样会不会使得平均值极限一定存在呢？我们有下面的例子。

　　例3 如下定义数列{an}：

　　a1=1，a2=-1，a3=a4=1，a5=a6=-1，a7=…=a12=1，a13=…=a18=-1，…，

　　假设前2・3k项已定义，令a2・3k+1=…=a2・3k+2・3k=1，a2・3k+2・3k+1=…=a2・3k+2・3k+2・3k=-1.

　　很显然，数列{an}有界，且极限不存在。对于平均值数列a1+a2+…+ann，当n=2・3k时，

　　a1+a2+…+ann=1+（-1）+…+1+1+…+（-1）+（-1）2・3k=0；

　　当n=4・3k时，

　　a1+a2+…+ann=1+（-1）+…+1+1+…+12・3k个4・3k=12.

　　从上面例子可以看出不论数列{an}的有界性保证不了平均值极限的存在性。

　　接下来我们考虑定理的逆命题，也即“如果数列a1+a2+…+ann极限存在，那么数列{an}极限存在”是否成立。这个命题也是不成立的，我们有下面的例子。

　　例4 令an=（-1）n，很显然{an}极限不存在。但a1+a2+…+ann为-1或0，是有界量，从而limn∞a1+a2+…+ann=0.

　　比较上面的例3和例4我们发现，这两个数列都只是由1和-1构成的，那么为什么会造成一个平均值极限存在，一个平均值极限不存在呢？这主要是由于1和-1出现的频率不同造成的。在例3的数列中1和-1在前n项所占比例随着n的增加变化很大，而在例4的数列中1和-1在前n项所占比例比较稳定，n增加时二者所占比例趋近于1/2.这又为什么会造成平均值极限存在呢？我们可以用概率的观点来理解这件事情。把例4数列理解为一个随机事件，那么1和-1在前n项所占比例也就是频率，频率的稳定值是概率，所以该随机事件中出现1和-1的概率都是1/2，从而数学期望为12×1+12×（-1）=0，而数学期望正是平均值的稳定值，所以平均值的极限存在且等于0.其实不光对例4我们可以这样理解，对其它一些情况也有类似的结论。我们给出下面的定理。

　　定理2 假设有界数列{an}有且仅有两个聚点x和y，其中xx+y2}中元素的个数。如果极限limn∞xnn=p，则有limn∞a1+a2+…+ann=px+（1-p）y。

　　证明 将{an}中小于等于x+y2的项构成的子列记为{bn}，大于x+y2的项构成的子列记为{cn}。下面证明limn∞bn=x，limn∞cn=y。

　　反证法。若{bn}不收敛于x，则必存在x的一个邻域（x-δ，x+δ）使得其外有{bn}的无限多项。而{bn}为有界数列，这无限多项也是有界的，从而由聚点定理可知这无限多项至少有一个聚点z，且z≠x。由bn≤x+y2可知z≤x+y2，从而z≠y。也即{bn}有一个不同于x和y的聚点，这也意味着{an}有一个不同于x和y的聚点，这与{an}只有两个聚点矛盾，limn∞bn=x得证。同理可证limn∞cn=y。

　　由定理1可知limn∞b1+…+bnn=x，limn∞c1+…+cnn=y。在{an}的前n项中有xn项属于子列{bn}，有yn项属于子列{cn}，故limn∞a1+a2+…+ann=limn∞b1+…+bxn+c1+…+cynn=limn∞b1+…+bxnn+c1+…+cynn

　　=limn∞b1+…+bxnxn・xnn+c1+…+cynyn・ynn

　　=limn∞b1+…+bxnxn・limn∞xnn+limn∞c1+…+cynyn・limn∞ynn

　　=xp+ylimn∞n-xnn=px+（1-p）y。

　　可以看出，上面的例4正是定理2的特殊情况。上面的定理是对于只有两个聚点的数列得到的，其实对有有限多个聚点的数列也有类似的结论，我们不加证明地给出下面的定理。

　　定理3 假设有界数列{an}有k个聚点x1，x2，…，xk，其中x1

　　参考文献：

　　[1] 《数学分析》，华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2010（第四版）

数列的极限范例篇2

　　关键词：农业院校；微积分；高效课堂教学模式

　　中图分类号： G642.0 文献标识码： A 文章编号： 1673-1069（2016）18-123-2

　　0 引言

　　众所周知，传授知识是教育的核心。在信息社会的今天，农业院校如何上好数学课程，如何提升教学效果，成为每个农业院校数学教师必须研究的问题。基于农业院校的微积分高效课堂教学模式构建的关键就在于我们能否营造出一个以学生为中心，以教师为辅助的课堂，因为只有让学生动起来才能让课堂活起来，只有以学生为主体才能提高整个课堂教学效果。现以“极限”的教学活动为例，浅谈采用“感知情趣―探究总结―巩固梳理”的“352”高效课堂教学模式的构建策略。

　　1 课堂设计

　　极限是微积分中的基础概念，本科微积分的一系列重要概念，如函数的连续性、导数、微分、积分等都是借助于极限来定义的。同时极限是本科数学教学中必不可少的重要方法。但在传统的课堂教学中教师把极限简单地分割成数列极限和函数极限两部分，在定义介绍时又要讲解单点处极限、无穷远处极限、左右极限等概念，这些概念比较抽象，对于大部分普通农业院校的学生在学时的课堂教学中感到很难理解，十分吃力，导致对他们无法及时掌1握极限，甚至使他们对微积分后续教学内容产生了厌学情绪。因此本节教学活动能否建立在学生兴趣的基础之上，保证每一位学生有兴趣去思考极限、观察极限、理解极限，调动起学生的学习兴趣是完成本节教学内容的关键。我们设计首先通过简单地生活化问题情境激发学生探究欲望，然后逐步引导学生开展探究，组织学生尝试解答疑问，再通过讨论交流的方式得出结论，最后通过练习反馈，提升教学内容，完成教学要求。

　　2 教学过程

　　2.1 感知情趣，导出课程

　　首先进行情景引入，例如教师向学生介绍“阿基里斯永远追不上乌龟”的诡辩内容。然后要求学生讨论诡辩是否正确，为什么。组织学生思考、回答、相互评价，然后教师再引导分析。当有的同学提到了极限，引导学生思考极限是什么。通过引导让学生对数列极限有一个形象化的了解。最后向学生介绍 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”，引导学生讨论 “万世不竭”的含义，使学生加强数列极限的理解。

　　2.2 探究总结，深入课程

　　教师向学生介绍 “割圆求周”的方法，现场模拟割圆术，让学生直观地感受到“无穷数列的变化趋势”，加深学生对“变化趋势”、“无限接近”、“极限”等感性的认识。组织学生归纳出数列极限的直观描述性定义，总结其数学思想。

　　组织学生讨论无穷数列{}，{}，{}的变化趋势及共性特征。通过讨论，使学生了解可以用研究函数值的变化趋势的观点来研究无穷数列，从而体会发现数列极限的过程。引导学生讨论当n无限增大时，上述数列趋近常数的方式有哪几种类型，是否每个无穷数列都有极限。

　　接着，以数列{}为例，提出问题： 根据数列极限的直观描述性定义，这个数列的极限是1，为什么不说这个数列的项无限地趋近于0.99999999999.让学生真切体会到描述性定义虽然通俗易懂但不精确，科学的极限定义必须超越直观与想象，并在运算和推理论证中具有可操作性，这时引导学生将“无限增大”、“无限接近”等定性描述进行定量刻画，由数列极限的直观描述性定义过渡到严格定义，形成极限的概念。

　　引导学生理解直线上两点间的距离，可用这两点对应的数值之差的绝对值来表示，从而将接近程度与绝对值联系到一起。引导学生将“无限接近”转化成“距离无限减小”，再把“距离无限减小”严格化。

　　组织学生按照教师给出的阅读提示阅读教材。引导学生思考对于极限还知道些什么，还有哪些与之相关的问题。激发学生的探究欲望，导出探究内容――如何找到极限，都有哪些极限，有何区别，“收敛”该如何理解。组织讨论如何用数列极限定义证明=1，引导学生思考欲证明极限存在需要满足什么样地关系式，又该如何找到N。

　　最后，教师组织学生通过数列{}和函数f（x）=在无穷远点的区别和联系的讨论，思考无穷远点处的函数极限的定义；通过函数f（x）=x在无穷远点处和原点处的区别和联系的讨论，思考单点处的函数极限的定义；通过函数f（x）=在x分别从x轴正方向和负方向趋近原点处的区别和联系的讨论思考函数的左右极限的定义，并将其扩展到

　　f（x）和f（x）。

　　2.3 巩固梳理，归纳课程

　　以学生为中心，组织学生讨论（x1）和f（x）=1+x2 x≤0

　　2x x>0（x0）的极限计算，并由有思路的同学讲解，都解决不了的再由老师提示或讲解。再通过随堂练习检验学生对课程内容的掌握情况，及时对学生的错误进行矫正。通过探索开放性练习：试说出满足an=2的几个数列。引导学生从各个方面对自己进行小结和评价。

　　最后教师和学生共同梳理归纳本次课程所学的知识，总结自己的收获。

　　3 特点和流程

　　本次课程是“感知情趣―探究总结―巩固梳理”的“352”高效课堂教学模式典型课例，充分体现了该模式的突出特点：以兴趣为引导，以学生为主体，以探究为手段，以目标为中心，以问题为线索，以能力为目的。用较少的学时完成适量的教学内容，减轻农业院校学生学习负担。

　　从本次课程中也能清晰地看出“感知情趣―探究总结―巩固梳理”的“352”高效课堂教学模式流程如图1所示。

　　4 小结

　　教师首先要根据教学目标和重难点创设问题情境，并通过这些问题情境，激发学生的学习兴趣，启迪他们思考，激发学生探究欲望，使教师在此基础上提出探究问题，为后续展开做铺垫。能否设计合理的问题情境是关键所在。其次，针对提出的疑问，引导学生进行讨论和探究。最后教师通过反馈练习，来检验学生的掌握情况，并对发现的问题进行及时矫正。

　　当然这种高效课堂教学模式还有很多缺陷，比如多种教学手段如何灵活运用，各个环节时间如何分配，100人的大课堂如何进行等，这些问题还需要在具体的教学实践中逐渐探索解决。

　　参 考 文 献

　　[1] 路文。关于构建高效课堂教学模式的思考[J]。吕梁教育学院学报，2011，28（2）：33-34.

　　[2] 余佩，白伟伟。信息技术支持下的高效课堂教学模式研究――以交互式电子白板为例[J]。软件导刊，2013（9）：180-182.

　　[3] 李玉婷，“352”高效课堂教学模式与传统教学模式比较研究[D]。河南大学，2014：22-31.

数列的极限范例篇3

　　【关键词】数列；上下极限；集合列

　　[Abstract] This article discussed the sequence about limit with to gather the row about limit and it’s the nature 。At the same time also discussed between them the relations。

　　[Key words] Sequence；About limit；Set row

　　1.引言

　　极限的概念是数学分析的一个最重要的理论部分。极限思想在数学中起着无语伦比的重要作用。极限思想是早在清代时期著名数学家明安图发现的。上下极限的概念是极限概念的延伸，与极限概念相比，当然处于次要的地位，成为数学分析中重要的理论部分。此外由于上下极限的引入，使得极限多了一条判别定理，对于某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路，都有着种要得意义。

　　2.集合列的上下极限集与性质

　　2.1定义：设是任意一列集合。由属于上述集合列中无限多个集的那种元素的全体所有组成的集成为这一集列的上级或上极限，

　　记为 或 。

　　对集合列那种除有限个下标外，属于集合列中每个集合的元素全体所组成的集合称为这一集合列的下极限集或下极限。

　　尽管定义是这么给出的，但也讲究合理性。

　　2.2与数列极限的区别与关系

　　对数列而言： 已有上、下极限概念，这里是对集合列规定上下极限概念，两种极限概念在定义对象上有区别，但又应该有联系，那么联系在何处呢？

　　对数列而言：

　　=，

　　这里是刚好不小于所有的数 。

　　是刚好不大于所有的数。

　　对集合列而言：

　　由属于无限多个集合的元素所组成的集为，且它的全体元素所组成的集不大于所有的集是，

　　故为集合列的上极限是合理的。

　　同理，为集合列的下极限也是合理的。也就是说集合列的上、下极限概念是数列的上、下极限概念的平移。

　　当上、下极限相符时，称集合列收敛，并称其上、下极限为极限，这也只不过是数列上、下极限概念的评议而已。

　　例1. 设E，F为集合作集合列由上、下极限的定义得到，于是集合列收敛

　　例3 ，

　　，求上下极限。

　　解：

　　① ，

　　② 则

　　③当，即 ， ，可以 且

　　④时当时但即而从而 可以得而

　　⑤，时，当时，但 从而 但 ， ，可以得 ， 由此可得

　　=

　　=。

　　[1]徐森林等，实变函数论，第一版，合肥：中国科学技术大学出版社，2002年

　　[2]曹广福，实变函数论，第二版，高等教育出版社。Springer出版社 ，2002年

　　[3]程其嚷等，实变函数与泛函分析基础，第二版，高等教育出版社，2003年

　　[4]姚允龙等，数学分析，复旦大学出版社 ，2001年

　　[5]林源渠，数学分析解题指南，北京：北京大学出版社，2003年

　　[6]李成章，数学分析，北京：科学出版社，2002年

　　[7]常庚哲等，数学分析教程，高等教育出版社，2003年

　　[8]阵纪修等，数学分析，第一 版，高等教育出版社，2000年

数列的极限范例篇4

　　一、问题的提出

　　引例1：计算（）n3.

　　解：（）n3 =[（1+）]2（1+）-1=e2.

　　本例中数列极限（1+）=e许多学生认为是由于（1+）n=e，但这种想法似是而非，严格地讲这是由（1+）x=e得出来的，同一个类型的例子基本上都是这样，由此可见x=e这个式子的正确使用是我们必须要掌握的。

　　引例2：证明（1+）x=e。

　　证：对于任意的x>1，有（1+）[x]

　　其中[x]表示x的整数部分，令x-> +∞ 时，不等式左右两侧表现两个数列的极限 （1+）n=e与（1+）n+1=e，再利用函数极限的夹逼定理得到（1+）x=e。

　　接下来我们重点了解一下能不能从数列极限 （1+）n=e求函数极限 （1+）[x]=e 。研究数列极限和函数极限时，许多学生会想到海涅定理，根据海涅定理， （1+）[x]=e的充分必要条件是对于任意趋于+∞的数列{n }都有。

　　当xn=n时，数列{（1+）1，（1+）2，（1+）3+……（1+）n……}，所以（1+）n=（1+）n=e。

　　当xn=n2时，数列={（1+）1，（1+）4，（1+）9，……（1+）n2……}是数列{（1+）n}的子列，所以（1+）[x]=（1+）n=e。但是当 xn=时，数列{（1+）[xn]}={（1+）1，（1+）1（1+）1，（1+）2，…，（1+）}，显然数列{（1+）n}是数列{（1+）[xn]}的子列，因此从逻辑上我们就不能直接用（1+）n=e得到（1+）[xn]= e，也就不能直接得到（1+）[x]=e，至于有的教材中直接将{（1+）[xn]} 认为是{（1+）n}的子列，则明显错误的。

　　二、得到的重要结果

　　通过上面的分析，我们就可以提出下面的定理。

　　定理1 设f（x）在[a，+∞]上有定义，（a>0），如果存在数列{xn }，{yn }满足对于任意x>=a，当n

　　证明：对于任意 A>0，由于 xn= yn=A，所以存在N∈N+ （假设N≥a），当n>N时，就会有x-AN且n0≤x≤n0+1，由条件可得xn≤f（x）≤yn，所以xn-A≤f（x）-A≤yn-A，于是f（x）-A≤max{xn-A，yn-A}

　　由极限定义知f（x）=A。

　　例1：证明=（1+）x=e。

　　证明：对于任意x≥1，当时n≤x

　　而 （1+）n=（1+）n+1=e，即有（1+）n

　　由定理1可知 （1+）x=e。

　　例2：证明 x=1.

　　证明：对于任意的x≥1，当n≤n+1时有=[x]

　　在学习定积分时且遇到下面的问题：

　　例3 ： 计算极限。

　　解： 对于任意的x≥，当≤x≤（k∈N+）时，有costdt≤costdt+costdt=1+2k及costdt≥costdt+costdt=1+2（k-1），于是=≤≤=，而且==。

　　所以受定理1的启发，结论应该是=。

数列的极限范例篇5

　　【关键词】定积分的定义 数列极限

　　【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）11-0132-02

　　极限是高等数学中重要的概念，也是高等数学教学的重点与难点，计算极限是教学中的一个重要内容，有多种方法可以计算极限，但是对于部分无穷项和式数列的极限的计算依然还比较困难。本文通过解析定积分的定义，讨论如何把无穷项和式数列转化为定积分和，从而利用定积分的定义巧妙地计算无穷项和式数列的极限。

　　一、预备知识

　　定义[1]：设函数在上有界，用点，把区间任意分割成个子区间，这些子区间及长度均记作。在每个子区间上任取一点，做个乘

　　积的和式。如果当，同时最大子区间

　　长度时，和式的极限存在，并且极限

　　跟分割方法以及的取法无关，则该极限值为函数在

　　区间上的定积分，记作。

　　二、定积分定义计算极限的方法与步骤

　　由定积分的定义可知定积分实质是无穷项和式的极限，由于定积分只与被积函数和积分区间有关，与区间分割方法以及点 的选取无关，因此我们可以将区间等分，即区间长度

　　，并且满；点取每个小区间的右端

　　点，即。则，

　　1、将无穷项和式数列恒等变形，化为积分和的形式

　　2、确定定积分的被积函数和积分区间

　　令，则被积函数为。

　　3、由定积分的定义将无穷项和式数列极限写成定积分

　　4、用牛顿莱布尼茨公式计算出定积分的值，即为所要计算的极限值

　　三、实例解析

　　例题1计算极限

　　解（1）将无穷项和式数列 恒等变形，化为积分和的形式

　　其中。

　　（2）确定定积分的被积函数和积分区间

　　，

　　（3）

　　例题2计算极限

　　解（1）将无穷项和式数列恒等变形，化为积分和的形式

　　其中

　　例题3 计算极限

　　解（1）

　　（2）令，则被积函数

　　（4）因为

　　故

　　由以上几个例题发现利用定积分的定义计算无穷项和式数列极限，最关键之处在于找准被积函数，确定好积分区间。

　　四、结束语

　　利用定积分定义计算无穷项和式数列的极限是一种十分巧妙有效的方法，其能够把繁杂的无穷项和式数列恒等变形为积分和，再转化为定积分来计算，其简化了计算。

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