分式方程的应用范例

分式方程的应用范例篇1

　　【关键词】石化工程 以太网 Web服务器 IO服务器 控制层 信息管理层

　　1 前言

　　在石化工程施工过程中，以网络为基础的分布式自动控制系统的应用日益广泛。这种系统把工业生产体系分成生产运行现场和监测控制中心两大部分，通过专用网络把它们连起来，并在它们之间双向传送信息以协调系统动作。一个监测控制中心可以实现远程、实时地监控分布在附近的多个生产运行现场，形成一个分布式自动控制体系。该系统使工人远离嘈杂的或磁场辐射的生产运行现场，改善了工人的工作条件，实现生产运行现场无人值守、少人维护，降低人工成本，而且减少误操作，降低事故的发生率。因此以以太网为基础的的分布式自动控制方法一直是国内外工业自动化生产的发展趋势。目前我国的工业自动化程度还很低，开展上述系统的研究和开发，对优化我国的产业结构，协调人员配置，降低人工成本，提高生产效率，有着十分重要的意义。

　　2 分布式网络电力自控系统结构设计

　　设计的基本思想是使用专门数据采集模块把变电站系统、供电所等电力系统设备工作状态数据采集下来，通过专用网络传输到远处的计算机监控中心进行集中处理和显示，并根据处理的结果向对应的安装在生产运行现场的电力设备上的控制模块发出操作命令，从而实现对生产运行现场各电力设备的实时控制。

　　基于上述原理，现设计如下的系统模型，详见图1：

　　图1中模型采用了以太网络连接多个设备上的采样和控制模块。这种模块对方圆1.5公里内研华Adam-5000模块和智能仪表实现无缝链接，并可对其附近上千点的实时数据进行采集和数值处理，同时到INTERNET上。INTERNET是以TCP/IP协议为基础，以WEB为核心的企业内部网，成本低，易于维护，加强了企业与外部的联系。本模型采用Adam-5000模块，结构紧凑，具备智能化处理单元，特别适合于控制点/采集点分散、与中心站距离较远的电力系统。系统配置灵活简单，输入输出模块全部带光电隔离保护，且内置看门狗电路，大大提高了系统的可靠性，适用于像热电厂等条件相对复杂的工业环境。整个系统采用客户机/服务器模式，有利于实现对客户信息服务的动态性、实效性、交互性和系统安全性。数据采集系统由研华Adam-5000模块和智能仪表组成，负责采集现场电力设备的电流、电压、开关状态及其它信号，并传送到控制层。控制层配置若干采集站分别运行组态王通用监控软件（现用组态王电力版），负责对现场设备传送过来的数据进行二次采集和数值计算，并与关系数据进行数据交互。信息管理层配置WEB服务器，运行组态王上的服务软件，将控制层的实时显示画面到广域网上。

　　在上述系统模型中，控制层起着关键的作用，IO服务器收集从设备层传来的数据，交给监控站进行处理，并把监控程序下达的控制命令传送到设备层中去，实现交流和控制。控制层的可靠与否直接决定该自动控制系统运行的成败，因为重要硬件技术方面，相关产品都很成熟，可靠性高，因此重要的是要有一个可靠的监控软件与硬件配合，使该系统模型成为一个软硬结合、通信能力强、通用性高的模块对象，使该系统不需或做少量修改即可应用到任一电力系统的监控中去。为此，我选用了亚控软件公司的组态王电力版监控软件。组态王电力版紧密把握电力系统用户的要求，采用组态王6.0的成熟技术，同时遵循电力系统的标准规范，组态王电力版为电力系统用户开发了专用的驱动程序，专用的数据库，图库控件和报警机制等。该系统模型可以随时发现与处理事故，可遥测各种数据，可按要求进行合、分闸等操作，可进行开关检测及存盘保存系统事故，还可打印记录。该系统模型适用于Winodows操作系统，包括Winodows98、WinodowsNT、Winodows2000等Winodows系列操作系统。

　　3 应用

　　由于组态王电力版具有良好的开发特性，因此该系统的应用相当灵活方便，应用具体步骤如下：

分式方程的应用范例篇2

　　关键词：嵌入式系统；嵌入式微控制器；理论教学；实践教学；教学模式

　　随着科技发展和社会需求的推动，信息技术进入到以嵌入式系统为代表的后PC时代，嵌入式技术已经成为21世纪最有生命力的高新技术之一，培养精通嵌入式技术的人才成为世界各国计算机教育工作的重点。

　　嵌入式微控制器是嵌入式系统的核心控制单元，开展嵌入式微控制器教学是嵌入式系统教育的关键组成部分。美国IEEE和ACM两大学术组织于2004年的计算机工程教学计划（Computer Engineering 2004，简称CE2004），明确规定了嵌入式系统课程中应包含的嵌入式微控制器的具体教学内容Ⅲ。事实上，从早期的单片机类课程，到如今基于32位ARM嵌入式处理器系统的相关课程，都是围绕嵌入式微控制器开展教学工作的，在世界各大高校都受到高度重视。

　　工程管理与信息技术学院是中科院研究生院的二级学院，主要培养软件工程、计算机技术、电子与通信工程、控制工程等领域的工程硕士研究生。学院从2003年开始开设嵌入式系统工程专业，经过几年的努力，逐步建立起系统的嵌入式方向课程体系。嵌入式微控制器原理与应用作为其中一门核心课程，在该课程体系中占有重要的地位。下面从教学目标、教学模式、教学内容、实践教学、考核方式等几方面对该课程进行详细阐述，并在最后讨论课程的实施效果和改进方向。

　　1 课程教学目标和教学模式

　　1.1教学目标的制订

　　嵌入式微控制器原理与应用课程主要教学对象是软件工程、计算机技术、电子与通信工程、控制工程等专业的工程硕士。与传统的工学硕士相比，工程硕士培养更加注重锻炼其工程实践和解决实际工程问题的能力，这要求教师既要讲解基础理论知识，又要将理论与实践结合，围绕具体工程问题开展教学内容。此外，中科院工程硕士的学生生源具有本科专业跨度大、工作经历和素质能力差异大等特点。为适应这一特点，我们在制订课程教学目标时要统筹兼顾，对于基础较差的同学和经验丰富的同学要差别对待，制订差异化的教学目标。

　　在充分考虑上述因素的基础上，嵌入式微控制器原理与应用课程的教学目标制订为：学生通过本课程的学习，掌握一种嵌入式处理器体系结构，精通1-2种基于该体系结构的嵌入式微控制器及其接口设计技术，深刻理解嵌入式软件开发流程，能够熟练地选择、使用嵌入式软件和工具完成嵌入式硬件系统的驱动和应用软件设计。

　　教师在实施上述教学目标时，对于基础较差的学生要求精通一种嵌入式微控制器即可；对经验丰富的学生则要求在课程学习的基础上，用对比学习的方法自主学习另外一种嵌入式微控制器。该教学目标体现了对学生的区别对待，能满足不同层次学生的需求。教学目标没有对硬件电路设计作太多要求，符合中科院嵌入式系统方向工程硕士研究生的生源特点和实际需求。教学目标中“能够熟练选择、使用嵌入式软件和工具完成嵌入式硬件系统的驱动和应用软件设计”是一种能力要求，体现了对工程设计能力的重视，符合工程硕士培养目标。

　　1.2教学模式的设计

　　国内各大高校在嵌入式系统相关课程的教学工作上已经进行了大量有益的探索和实践，在教学模式上也已经基本达成共识，即嵌入式系统教学应该采取理论教学和实践教学相结合的教学模式。

　　我们在开展嵌入式微控制器原理与应用课程的教学工作时，采取了“课堂理论讲解、课堂实验练习、综合实验设计、工程项目设计和多层次考核”的教学模式。与大多数高校课堂实验采取观察性和验证性实验不同，本课程课堂实验则采取设计性实验，每一个实验都是一个小型的开发项目，需要学生灵活运用从课堂上学到的理论知识分析实验要求，编程完成实验项目。综合实验设计要求学生在完成所有基础课堂实验后，按照需求分析、软件设计、实现和测试等软件开发流程，在开发板上完成一个小型嵌入式软件的开发。工程项目设计则是让学生选择一种微控制器，完成一个实际工业嵌入式产品的分析和设计报告。这3种层次的实践环节相互结合，充分锻炼和提高了学生的实践能力。

　　2 基础理论教学

　　CE2004首次将嵌入式系统作为一个知识领域纳入到计算机工程知识体系中，并详细规定嵌入式系统包含的10个知识单元以及每个知识单元包含的知识点。参考CE2004的规定，并结合本课程制定的教学目标，嵌入式微控制器原理和应用课程的理论教学内容共包括5个知识单元。

　　知识单元1是嵌入式系统历史和概述。知识点包括嵌入式系统历史、定义、组成、开发特点、设计过程、应用领域和发展趋势等。知识单元1主要目的是使学生建立对于嵌入式系统的全方位认识，了解嵌入式系统的过去、现在和未来。

　　知识单元2是嵌入式处理器。知识点包括嵌入式处理器的组成、嵌入式处理器的类型（从集成程度、处理器位数、体系结构和生产公司等4个不同分类标准分别讲解）、ARM处理器的发展（历史、分类和应用）。知识单元2主要目的是使学生掌握嵌入式处理器的组成原理，充分认识嵌入式系统领域中应用处理器的多样性，避免“只见树木、不见森林”。

　　知识单元3是典型的嵌入式处理器体系结构，我们选择ARM体系结构进行讲解。主要知识点包括ARM处理器寄存器模型、ARM处理器编程模型、ARM处理器异常中断处理、ARM处理器存储模型、ARM处理器指令编码和指令系统、ARM汇编语言编程、ARM汇编与C混合编程、ARM开发工具（汇编器、编译器、连接器和调试器）。知识单元3囊括了CC2004里嵌入式微控制器、嵌入式编程和嵌入式工具等3个知识单元的多个知识点。

　　知识单元4是嵌入式微控制器组成及接口，我们以三星S3C2440微控制器为例进行讲解。知识点包括微控制器结构、内存控制器、中断控制器、时钟体系、电源管理、DMA控制器以及各种外设控制器。在这些知识点中，内存控制器、中断控制器、时钟体系、电源管理、DMA控制器是重点讲解内容，对于其他各种外设控制器主要讲解基本原理和应用思路，而具体使用细节则要求学生课下通过学习芯片手册掌握。熟练阅读芯片手册是掌握嵌入式系统开发特别是底层编程的基础，因此这个学习单元的教材就是芯片手册。对于学有余力的同学，我们要求其在学习S3C2440微控制器的同时，在课下自行学习ATMEL AT91SAM9G45微控制器，并比较其与$3C2440的异同之处。这样做的目的是满足不同层次学生需求，实现差异化教学。

　　知识单元5是嵌入式应用编程，知识点包括嵌入式软件体系结构、应用程序映像文件组成、系统启动加载代码等。通过这个知识单元的学习，学生能够了解嵌入应用程序的汇编、编译、连接过程，理解应用程序映像的具体组成以及加载启动的方式，培养为一个裸硬件系统开发完整嵌入式应用软件的能力。

　　3 实践教学设计

　　3.1实验平台介绍

　　目前嵌入式系统的教学实验平台主要有3种类型：基于ARM微控制器的教学平台、基于DSP处理芯片的教学平台和基于FPGA的教学平台。鉴于基于ARM的微控制器在32位嵌入式系统处理器市场中的占有率极高，以ARM微控制器为例讲解嵌入式微控制器的基础理论和应用技术，更能满足市场对于嵌入式工程技术人才的需求，我们选择基于三星$3C2440微控制器（采用ARM920T内核）的嵌入式教学平台。该平台的系统组成结构如图1所示。

　　在此教学平台结构图中，S3C2440是一款基于ARM920T处理器的嵌入式微控制芯片，内部集成了AHB和APB两条总线，以及连接在总线上的内存控制器、中断控制器、时钟电源管理单元、USB主从控制器、看门狗、定时器、PWM控制器、GPIO控制器、SD/MMC控制器等多种外设控制器。存储器包括64M SDRAM、4M NOR FLASH和64M NAND FLASH；人机接口设备包括640×480像素6寸TFT液晶显示模块、触摸屏、4×5小键盘模块和4个GPIO连接LED显示灯；通信接口及设备包括串口、USB主接口、USB从接口、两个以太网接口、音频输入输出接口和Camera接口等。该实验设备支持多种层次的实验，嵌入式微控制器原理与应用课程的所有实验均在该实验平台上完成。

　　3.2课堂实验设计

　　实验在计算机类学科中的作用十分重要，是教学活动的重要环节。根据实验性质区分，我们可以把课堂实验划分为观察性实验、验证性实验和设计性实验等类型。设计性实验要求学生根据实验要求自行设计实验过程，相对于前2种实验更能锻炼学生的设计能力和独立工作能力，因此我们的课堂实验均采用设计性实验类型。

　　根据理论教学内容，我们共设计了16个课堂实验，这些课堂实验与知识点的对应关系如表1所示。

　　表1中的16个实验除实验1外，均为设计I生实验。其中，实验4和实验5分别用汇编和c语言驱动GPIO管脚连接的LED灯，学生通过对比掌握汇编和C语言访问外设寄存器的异同；实验6使用查询方式实现定时功能，实验8采用中断方式实现同样功能，学生通过对比掌握IO两种访问方式的异同；实验9主要练习32位微控制器各个模块所需不同时钟频率的产生，以及处理器时钟频率的编程调节，使学生熟练掌握微控制器的时钟体系；实验10～实验16则练习微控制器的主要外设I/O控制器的接口编程技术。

　　限于课程的课时长度，课堂实验无法包含所有外设控制器，但通过这些典型外设控制器的学习，学生很容易就能触类旁通地掌握其他模块使用方法。

　　3.3综合实验设计

　　综合实验要求学生分组合作，综合运用所学知识，利用课下时间设计一个小规模的嵌入式应用软件并在实验平台上完成调试运行。为了吸引学生兴趣，综合实验均采用游戏项目的形式。我们设计了几个游戏项目供学生选择，分别是世界时钟、五子棋、电子菜单、科学计算器、汉诺塔、交通信号控制器、俄罗斯方块等。教师也鼓励学生选择一些常见的其他娱乐游戏作为综合实验设计项目。

　　学生在完成综合实验项目时，要按照实验项目说明书的要求完成实验设计，撰写的项目文档至少要包含需求分析、软件设计、软件测试、使用说明、运行结果、项目分工、总结讨论等几个方面的内容。通过综合性实验，学生既锻炼了综合设计能力和动手能力，又提高了沟通能力和团队合作能力。

　　3.4工程项目设计

　　课堂实验和综合实验相结合的实验方式，很好地锻炼了学生对于特定嵌入式微控制器的实践动手能力。但若要灵活运用所学嵌入式微控制器设计工程项目，学生还需通过具体工程设计实践进行锻炼。嵌入式微控制器原理与应用课程和工程管理与信息技术学院课程体系中的另外一门课程“嵌入式系统分析与设计”相配合（同一学期开设），教师在2门课程结束后布置一个共同的工程项目设计作业，要求学生围绕一个典型的嵌入式系统产品，在尽量采用嵌入式微控制器课程所学微控制器的前提下，给出该产品的详细设计方案。我们在每一学年都给出不同的设计项目，例如近几年的题目分别是IC卡公民身份证系统、税控收款机系统、数字水印技术的应用系统等。

　　需要指出的是，工程项目设计仅供学有余力、希望在工程项目设计能力上有所提高的学生完成。根据近几年的实际情况来看，约有1/2的学生提交了项目设计说明书，平均长度达到30多页。其中一些非常新颖和有价值的设计方案，可以直接用于工业生产实践。

　　4 考核方式

　　为了使考核方式既起到检验学生的知识掌握程度，又能在平时督促学生认真学习的效果，我们采取分段考核和最终考核相结合的方式。具体来说，嵌入式微控制器原理与应用课程一共有4次课堂实验，包含15项设计性实验，每个实验分值在0～2分之间。每次课堂实验结束时，教师检查学生的实验完成情况并打分，这种方式起到了有效督促学生平时认真学习的效果。课程结束后有一次综合理论考试，总分是40分，该考试用于检查学生对嵌入式微控制器基本原理的掌握程度。综合实验要求学生自由组合，在课程理论考试完成后的一个月时间内完成。综合实验提交内容由项目文档和项目程序组成，其中项目文档占15分，项目程序完成情况占15分。学生完成综合实验后与教师约定时间，由教师进行现场检查并打分。工程项目设计作为附加要求，并不统计到最后成绩中，只供有兴趣的同学选择完成，在学生设计过程中，教师给予一定指导。

　　上述考核方式中，课堂实验、理论考试、综合实验在总成绩中分别占30%、40%、30%。课堂实验和理论考试对每一个学生的考核比较客观直接；综合实验由学生合作完成，打分时教师先给出每一组的分数，组内每个学生的分数根据其具体负责内容和完成情况在组分数基础上微调得到，尽量使分数反映出学生的实际水平。

　　5 课程评估与分析

　　中科院研究生院建立了课程网站评估系统，鼓励学生在课程结束后从网上对课程进行评估。评估内容涵盖教学态度、教学内容、教学方式和教学效果等方面，共包含4项7条，每一条评估分值为1～5分。

　　根据近3年的统计结果来看，每年约有90%的同学参与网上评估，课程评估结果均为优秀（平均分均超过4.6分）。评估结果显示，学生认为课程内容符合嵌入式方向工程硕士培养目标（4.8分）；课程对他们的工作具有较大帮助（4.7分）；课程理论与实践相结合的教学方式得当（4.6分）；课程的考核方式灵活，能从理论和实践2个角度恰当地考核学生对于课程的掌握程度（4.4分）。部分学生认为实验课时较短，应该从16课时提高到20课时；还有一部分学生认为嵌入式微控制器原理与应用课程的课时数偏少，建议从40课时提高到60课时；学生对于实验课内容的安排比较满意（4.6分）。

　　从学生的评估结果来看，学生对于课程的教学内容选择、教学方式、考核方式等非常满意，课程达到了教学目标的要求。

分式方程的应用范例篇3

　　【关键词】待定系数法 初中数学 应用

　　【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2011）09－0161－02

　　全日制义务教育《数学课程标准》的前言部分提到：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。而要形成数学方法和理论，就少不了要进行解数学题，提高数学解题能力。

　　有人认为，提高解题能力的途径是多做数学题。这种看法有失偏颇。平时学生能自觉多做一些数学练习题固然很好，但如果只是死记硬背，搞题海战术，只会产生一些短期效应，达不到提高解数学题的能力，更谈不上应用。

　　不同内容不同形式的数学题，有不同的解题方法。要提高数学解题能力，就必须掌握一些常用的解题方法，例如待定系数法、配方法、换元法等。这些方法作为解题工具使用，会给初中数学的学习带来很大的方便，因此，对这几种数学方法务必做到理解、会用、熟练。本文主要结合待定系数法在初中数学中的应用，说明如何掌握一些常用的解题方法，提高自己的解题能力，以期达到抛砖引玉的作用。

　　所谓的待定系数法，就是在解决某些问题时，先用某些字母表示需要确定的系数，然后根据一些条件或要求来确定这些系数，从而解决问题的方法。

　　一、待定系数法在因式分解中的应用

　　例1，分解因式：x2＋2xy－8y2＋2x＋14y－3.

　　分析：所给的代数式是二元二次多项式，分解因式难度较大。由于x2＋2xy－8y2可以分解为（x＋4y）（x－2y），于是，原多项式能够分解成两个一次项乘积的一般形式应为（x＋4y＋m）（x－2y＋n），其中m、n为待定系数。再将上式展开，通过找对应项的系数，确定m、n的值。

　　解：x2＋2xy－8y2＝（x＋4y）（x－2y）。

　　x2＋2xy－8y2＋2x＋14y－3＝（x＋4y＋m）（x－2y＋n），其中m、n为待定系数。

　　上式展开后得到：

　　x2＋2xy－8y2＋（m＋n）x＋（4n－2m）y＋mn。

　　，解这个方程组，得 。

　　x2＋2xy－8y2＋2x＋14y－3＝（x＋4y－1）（x－2y＋3）。

　　二、待定系数法在多项式中的应用

　　例2，当m、n为何值时，（x2＋mx＋n）（x2－5x＋7）乘积中不含x2与x3的项。

　　分析：此类问题只要将多项式相乘后加以整理，使x2，x3项的系数等于零即可。

　　解：（x2＋mx＋n）（x2－5x＋7）＝x4－5x3＋7x2＋mx3－5mx2＋7mx＋nx2－5nx＋7n＝x4＋（m－5）x3＋（n－5m＋7）x2＋（7m－5n）x＋7n。

　　欲使乘积中不含x2与x3的项，则：

　　，解得 ，即当m＝5，n＝18时，乘积

　　中不含x2，x3的项。

　　三、待定系数法在整式除法中的应用

　　例3，当m、n为何值时，多项式x4－5x3＋11x2＋mx＋n能被x2－2x＋1整除？

　　分析：被除式是四次五项式，除式是二次三项式，根据“被除式＝除式×商式”，可知商式的最高次数应该是2，因此可设商式为x2＋px＋n。再利用各对应项的系数相等或赋予x特殊值，从而得出方程组，解方程组得出结果。

　　解法一：设商式为x2＋px＋n。

　　x4－5x3＋11x2＋mx＋n＝（x2＋px＋n）（x2－2x＋1）＝x4＋（p－2）x3＋（n－2p＋1）x2＋（－2n＋p）x＋n。

　　由各对应项的系数相等，得：

　　，整理为 ，解得 。

　　当m＝－11，n＝4时，x4－5x3＋11x2＋mx＋n能被x2－2x＋1整除。

　　解法二：设商式为x2＋px＋n。

　　x4－5x3＋11x2＋mx＋n＝（x2＋px＋n）（x2－2x＋1）。

　　分别令x＝1，x＝2，x＝3，得：

　　，整理为 ，解

　　得 。

　　四、待定系数法在方程中的应用

　　例4，已知方程x4－9x2＋12x－4＝0中有一个根是1，另一个根是2，求这个方程的其它两个根。

　　分析：由于所给方程是一元四次方程，它应该有四个根。已知其中两个根，所以代数式x4－9x2＋12x－4含有因式（x－1）（x－2），它还应含有另一个二次三项式。观察x4－9x2＋12x－4最高项x4的系数为1，常数项为－4.因此二次三项式应为（x2＋mx－2），其中m为待定系数。只要确定出m的值，问题便迎刃而解了。

　　解：设x4－9x2＋12x－4＝（x－1）（x－2）（x2＋mx－2），其中m为待定系数。

　　令x＝－1，得：

　　（－1）4－9×（－1）2＋12×（－1）－4＝（－1－1）（－1－2）［（－1）2－m－2］

　　6m＝18；

　　m＝3.

　　x2＋mx－2＝0，x2＋3x－2＝0.

　　， 。

　　方程的其它两根为 。

　　五、待定系数法在部分分式中的应用

　　把一个分式化成几个分式的代数和，叫做把这个分式分成部分分式。在解这类题的过程中，需要应用待定系数法求解。

　　例5，化 为部分分式。

　　解法一：设。

　　分别令x＝0，x＝3，得：

　　，即 ， 。

　　。

　　解法二：设。

　　，解得 。

　　以上的解法一是赋予x特殊值，得出A、B的方程组，从而求出A、B；解法二是利用对应项的系数相等，得出A、B的方程组，从而求出A、B。

　　六、待定系数法在求函数解析式中的应用

　　初中阶段的函数内容主要是学习一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，而对于这些函数的解析式的确定，则是学习函数的一个首要步骤。函数解析式的求法主要是运用待定系数法。用待定系数法求函数关系式的步骤是：第一步：设。优先设好待求函数关系式（其中含有待定的系数），尽量用概念定系数，使待定的系数越少越好。第二步：构。将点的坐标代入关系式，构造待定系数的方程或方程组，或用已知等量关系或几何条件，构造待定系数的方程或方程组。第三步：解。解方程或方程组，求出待定系数的值。第四步：回代。将解出来的待定系数的值代入所设的函数关系式，从而得到所求结果。

　　例6，已知一次函数的图象经过A（2，1）和B（－1，3）两点。求这个一次函数的解析式。

　　解：设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0），其中k，b为待定系数。

　　将A（2，1）和B（－1，3）两点的坐标代入到上面的解析式，得：

　　所求的一次函数的解析式为： 。

　　例7，已知：抛物线顶点的坐标为（3，－1），它与y轴上交点的纵坐标为－4.求这个二次函数的解析式。

　　分析：求二次函数的解析式时，如果设解析式为y＝ax2＋bx＋c，由于有三个待定系数，需有三个方程去组成方程组，才能使得问题得到解决。由已知中图象与y轴上交点的纵坐标为－4，即抛物线与y轴的交点为（0，－4），这算一个点。而由抛物线顶点，其中包含两个条件，于是问题可解。

　　另一种考虑的方法是利用顶点式y＝a（x－h）2＋k，其中（h，k）为顶点坐标。

　　解法一：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）。

　　依题意，得：

　　所求的二次函数的解析式为 。

　　解法二：设二次函数的解析式为y＝a（x－h）2＋k，其中（h，k）为顶点坐标。

　　抛物线的顶点坐标为（3，－1）；

　　y＝a（x－3）2－1.

　　又（0，－4）是函数图象上一点；

　　－4＝a（0－3）2－1.

　　9a＝－3， 。

分式方程的应用范例篇4

　　一、 行程问题

　　例1 （湖南湘西）吉首城区某中学组织学生到距学校20 km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度。

　　【分析】行程问题涉及三个基本量：路程、速度和时间，它们之间的基本关系是：路程=速度×时间，在这三个基本量中，已知两个可以求出第三个。 本题中涉及两种交通方式，包含的等量关系有：①速度关系：汽车的速度=自行车速度的2倍；②时间关系：坐汽车所用的时间=骑自行车的时间-半小时。

　　如果以②等量关系列分式方程，则需要设速度为未知数，即设骑自行车学生的速度为每小时x千米，可以设计4行3列的表格，把题目中有关的量填入表格如下：

　　本题还可以以①为等量关系列分式方程，则需要设时间为未知数，同学们可以试一试。

　　解：设骑自行车学生的速度为x km/h，则汽车的速度为2x km/h，根据题意得：=-。

　　解得：x=20. 经检验，x=20是原方程的解。

　　答：骑自行车学生的速度为20 km/h。

　　二、 销售问题

　　例2 （湖北仙桃） 某文化用品商店用1 000元购进一批“晨光”套尺，很快销售一空；商店又用1 500元购进第二批该款套尺，购进时单价是第一批的倍，所购数量比第一批多100套。

　　求第一批套尺购进时单价是多少？

　　【分析】销售问题涉及三个基本量：总价、单价和数量，它们之间的基本关系是：总价=单价×数量，在这三个基本量中，已知两个可以求出第三个。 本题中涉及两个批次的进货，包含的等量关系有：①单价关系：第二批套尺购进单价=第一批套尺购进单价的倍；②数量关系：第二批所购数量=第一批所购数量+100套。

　　如果以②等量关系列分式方程，则需要设单价为未知数，即设第一批套尺购进单价为x元，可以设计4行3列的表格，把题目中有关的量填入表格如下：

　　本题还可以以①为等量关系列分式方程，则需要设数量为未知数，同学们可以试一试。

　　解：（1） 设第一批套尺购进时单价是x元/套。

　　由题意得：-=100，

　　即-=100，解得：x=2.

　　经检验：x=2是所列方程的解。

　　答：第一批套尺购进时单价是2元/套。

　　三、 工程问题

　　例3 （2013·四川德阳）一项工程，甲队单独做需40天完成，若乙队先做30天后，甲、乙两队一起合做20天恰好完成任务，请问乙队单独做需要多少天才能完成任务？

　　【分析】本题是虚拟类工程问题，工作总量通常看作单位1，工程问题涉及三个基本量：工作总量、工作效率和工作时间，它们之间的基本关系是：工作总量=工作效率×工作时间，在这三个基本量中，已知两个可以求出第三个。 本题中涉及两个人工作，涉及工作总量的等量关系为：甲的工作总量+乙的工作总量=1.

　　如果以工作总量为等量关系列分式方程，则需要设乙的工作时间为未知数，即设乙队单独做需要x天才能完成任务，可以设计4行3列的表格，把题目中有关的量填入表格如下：

　　解：设乙单独做需要x天完成，由题意得

　　×20+×（20+30）=1

　　解得x=100.

　　经检验x=100是原方程的解，

　　答：乙单独做需要100天完成。

　　综上所述，用列表分析法解分式方程应用题时，主要包括三个步骤：第一，要确定问题的类型（如工程问题，行程问题等），以及它涉及的哪些量，基本关系是什么？第二，根据题意，写出问题中所有的等量关系，确定列分式方程的那个等量关系，并选择合适的量设未知数，然后借助表格来理清这些量之间的关系，把其他量用含未知数的代数式表示出来；第三，根据选择好的基本等量关系就可以列出分式方程，从而求解。

分式方程的应用范例篇5

　　关键词：常微分方程初值问题；自适应；数值积分；Matlab

　　中图分类号：O13文献标识码：A文章编号：1671―1580（2014）02―0148―03

　　一、引言

　　对于一阶常微分方程的初值问题

　　二、基于自适应数值积分的常微分方程数值算法原理

　　根据上式，可以近似地取Tk+1-Tk作为当前步近似值Tk+1的误差。若预定精度ε满足∫bkakf（x）dx-Tk+1

　　三、数值算例

　　用基于三种自适应的积分方法求解x=1时y（1）的数值解结果和误差情况如表1所示，同用等步长h=0.01时的复化梯形公式、4阶的Runge-Kutta方法和4阶Adams显式公式所求的数值解结果进行了比较，如表1所示，相比之下可看出自适应Cotes积分公式和4阶Runge-Kutta方法结果相对最为准确，但前者用时最少。从整体上看基于自适应梯形积分公式的算法所得到的结果明显比复化梯形公式的误差小，运行时间短。相应的基于自适应Simpson积分公式和自适应Cotes积分公式的算法所得到的结果明显比4阶Runge-Kutta方法和4阶Adams显示公式误差要小，运行时间短。同时对比于梯形公式、4阶的Runge-Kutta方法和4阶Adams显式公式三种方法，可以看出计算常微分方程数值解的单步法迭代公式如果收敛阶数越小，程序运行的时间越长，并且误差相对较大。而多步法在相同条件下，4阶Adams显式公式比4阶的Runge-Kutta方法所得数值解误差大。

　　用基于三种自适应的积分方法求解x=9时y（9）的数值解结果和误差情况如表2所示，同用等步长h=0.01时的复化梯形公式、4阶的Runge-Kutta方法和4阶Adams显式公式所求的数值解结果和误差情况相比，如表2所示，相比之下可看出自适应Cotes积分公式结果也相对最为准确，而且用时最少。从整体上看基于自适应梯形积分公式的算法所得到的结果明显比梯形公式的误差小，运行时间短。相应的基于自适应Simpson积分公式和自适应Cotes积分公式的算法所得到的结果明显比4阶Runge-Kutta方法和4阶Adams显示公式误差要小，运行时间短。同时对比梯形公式、4阶的Runge-Kutta方法和4阶Adams显式公式三种方法，可以看出计算常微分方程数值解的单步法迭代公式如果收敛阶数越小，程序运行的时间越长，误差则相对较大。而多步法在相同条件下，4阶Adams显式公式比4阶的Runge-Kutta方法所得数值解误差大。

　　基于三种自适应的积分方法选用的节点如图2所示，基于自适应梯形积分公式的算法选用的节点数最多，自适应Cotes积分公式的算法选用的节点数最少。

　　[参考文献]

　　[1]李庆扬，王能超，易大义。数值分析（第5版）[M]。北京：清华大学出版社，2008.

　　[2]胡健伟，汤怀民。微分方程数值方法（第2版）[M]。北京：科学出版社，2007.

　　[3]任玉杰。数值分析及其MATLAB实现：MATLAB6.X，7.X版[M]。北京：高等教育出版社，2007.

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